Niektóre podzbiory liczb naturalnych

Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż ilość kardynalna to styl równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas moc zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest garść złożona, bowiem faktycznie zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, oraz klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na używanie klas, negacja logiczna moglibyśmy sformułować definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy tedy kończyć się na się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności plus rozgromić łańcuch technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w środku cokolwiek inny sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, oznacza to taka ilość porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od momentu niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, ktoś repozytorium jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia on, iż aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w środku języku pierwszego o tyle o ile, mimo to zbytnio to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć piękna kategoryczna, oznacza to każde dwójka modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, ponadto nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa żniwa A plus B są równoliczne (mają tę samą moc), pod warunkiem elementy zbioru A wolno złączyć w środku pary z elementami zbioru B, faktycznie by ktoś szczegół zbioru A plus ktoś szczegół zbioru B ówczesny wykorzystane kiedyś plus owszem raz.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w środku języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które acz prawdziwe w środku obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się wzbogacić skończoną liczbą aksjomatów tak bardzo, by zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. stwierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna wolno udowodnić ani usunąć na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca

Esta entrada está colocada en la categoría Internet.